RENTREE TERRESTRE

ARC ATMOSPHERIQUE

CONTENU : Mis à jour décembre 2005, revu sept 2011

I Cadre de la théorie

1°) Paramètres

2°) Calculs intermédiaires de la mise en équations

II Equations de la rentrée

1°) Premier groupe d'équations

2°) Deuxième groupe d'équations

3°) Cas particulier d'une rentrée équatoriale

 NB : le téléchargement regroupe 4 cours sur la rentrée

Rentrée d'Allen - Rentrée de Chapman - Déorbitation

Arc atmosphérique

 

Ce cours sur l'arc atmosphérique de la rentrée est le troisième volet sur la rentrée et en termine l'étude :Le premier étudiant la manœuvre de déorbitation, le deuxième étant l'étude le l'arc orbital de descente, les 2 permettant de "régler" les conditions de rentrée dans l'atmosphère d'une planète.

Nous nous intéressons tout particulièrement à la Terre, mais les calculs seront aisément adaptables à Mars par exemple.

La mise en équations est un peu complexe et demande de la précision. Par souci pédagogique, nous donnons les fondements des calculs, les difficultés principales et laisserons le lecteur intéressé, réaliser lui même les développements intermédiaires.

I CADRE DE LA THEORIE :

L'étude engagée doit permettre de calculer à chaque instant, la trajectoire d'une capsule de rentrée, dans le repère de Greenwich, afin de bien maîtriser le point de chute au sol.

De manière très générale, le problème du mouvement d'un point en 3 dimensions, demande 6 équations, 3 portant sur la dérivée du rayon vecteur et 3 sur la dérivée du vecteur vitesse qui n'est autre que la loi fondamentale de la dynamique.

1°) PARAMETRES :

Nous prenons donc 6 paramètres, mais plus adaptés au problème du suivi de la capsule par des moyens au sol :

Coordonnées géographiques de positionnement :

L la longitude Greenwich

l la latitude géocentrique équatoriale

r la norme du rayon vecteur

Paramètres de repérage du vecteur vitesse :

V norme du vecteur vitesse de la capsule par rapport à l'atmosphère

g la pente du vecteur vitesse relative, angle entre le plan horizontal local et le vecteur vitesse, compté >0 si le vecteur vitesse est au dessus de ce plan

b l'azimut relatif qui, on le rappelle mesuré positivement vers l'Est.

2°) REPERES ET CALCULS INTERMEDIAIRES :

a) Repère absolu Ro:

La loi fondamentale de la dynamique nécessite un repère inertiel, nous prendrons donc OIJK, le géocentrique équatorial, associé au système J2000.

b) Repère relatif R de repérage du mouvement du véhicule:

Pour un mouvement rapporté à la Terre, nous choisirons comme repère relatif, parfaitement adapté, R le repère de Greenwich qui tourne ainsi que l'atmosphère, à vitesse angulaire constante wT par rapport à Ro.

La loi fondamentale se présente alors sous la forme particulière faisant intervenir les forces dites d'inertie d'entraînement et de Coriolis:

c) Autres repères ou axes intermédiaires :

La figure suivante concerne l'aérodynamique:

a) REPERE AERODYNAMIQUE XYZ= REPERE DE CALCUL R1: On nomme ainsi le repère X Y W intimement lié à la vitesse air et aux forces aérodynamiques:

NB : Les équations du mouvement du véhicule de rentrée seront projetées sur les axes X Y W de ce repère noté R1

b) INCIDENCE : Le véhicule de rentrée, avec son axe longitudinal i, dont l'angle avec le vecteur vitesse s'appelle l'incidence i.

Ici, l'incidence est >0, fournissant donc une portance vers le haut, c'est le "vol sur le ventre", permettant de limiter le taux de descente et de rester en altitude. Dans le cas contraire, avec i<0 et donc un "vol sur le dos", la portance est vers le bas et la trajectoire s'incline plus vers le bas, augmentant le taux de descente.

c) ANGLE DE GITE : Cet angle définit la rotation du véhicule, à INCIDENCE CONSTANTE, autour de l'axe X ou encore du vecteur vitesse. Sur la figure, la GITE est positive, assurant une portance inclinée du côté droit du véhicule quand on le regarde de face.

EXEMPLE : Pour un angle de gite de 90° ou de - 90° le véhicule est "sur la tranche".

Cet angle est, plus que l'incidence, un paramètre essentiel d'une stratégie de pilotage et de guidage du véhicule vers un point de chute visé.

d) FORCES AERODYNAMIQUES :Donnons immédiatement l'expression de la force aérodynamique, avec sa décomposition en traînée RX et portance Rz:

La dépendance par rapport au nombre de Mach, des coefficients aérodynamiques de traînée et de portance n'apparaît qu'en subsonique, car en hypersonique, il sont pratiquement constants.

e) REPERE ENZ : une figure plus haut( celle avec la Terre ) montre le repère géographique local ENZ, avec E l'Est, N le nord local et Z la verticale ascendante. Le dessin montre aussi clairement le vecteur u unitaire de la projection de la vitesse sur le plan horizontal. Ce vecteur u intervient dans la définition de l'azimut b et de la pente g.

II EQUATIONS DE LA RENTREE :

1°) CELLES CONCERNANT L, l, r :

Sans grosse difficulté la vitesse de l'extrémité de Z , vue du repère de Greenwich, ne dépend que des rotations L et l. donc:

Nous obtenons ainsi un premier groupe d'équations:

2°) CALCULS INTERMEDIAIRES CONCERNANT V, b, g :

Nous traduisons alors la loi fondamentale, en projection sur les axes du repère aérodynamique XYW, avec comme vraies forces, la traînée, la portance et le poids. Nous détaillons ci-dessous les calculs intermédiaires.

a) Accélération de Coriolis sur XYW:

Tout simplifié, on a sur XYW:

b) Accélération d'entraînement sur XYW :

 Des calculs analogues, moins détaillés, vus les précédents, donnent :

c) Accélération relative exprimée sur X Y W :

Le calcul repose sur 3 idées

1- Que l'accélération relative se calcule comme si la terre était fixe

2- D'une dérivation en axes relatifs, utilisant au passage ENZ

3- Que X dans ENZ ne dépend que des angles b et g.

Le lecteur achèvera les calculs analogues aux précédents, qui donnent :

et grâce aux dérivées connues de la longitude et de la latitude, il vient :

3°) EQUATIONS CONCERNANT V, b, g :

En explicitant la loi fondamentale, il vient le deuxième groupe d'équations où G est l'accélération due à la gravitation et non le poids, avec Rx et Rz qui ont les expressions vues plus haut.

 4°) CONCLUSIONS :

Le système des équations (I) et (II) constitue l'ensemble des équations à résoudre.

En posant un nouveau vecteur Y de l'espace vectoriel R6, il vient le système fermé :

qui se résout numériquement, par un algorithme d'intégration, par exemple Runge-Kutta ordre 4, avec la donnée des conditions initiales.

NB : Le lecteur aura bien compris que g est la pente relative, donc en général négative, pour une rentrée atmosphérique, du moins dans les premiers instants de la rentrée. Il est clair qu'éventuellement cet angle peut momentanément devenir positif lors de "rebonds" sur les couches denses de l'atmosphère; une évasion est même possible après rebond..

Probablement un projet de rentrée utilisera ces équations.

5°) CAS PARTICULIER :

Si l'on considère une rentrée équatoriale, dans le sens de la rotation terrestre, c'est à dire vers l'Est, les équations se simplifient grâce à :

l = 0, b = 90°, m = 0 ( pas de gite pour éviter un déport latéral).

Des projets de rentrée ou de vol lanceur ( en ajoutant la poussée) utiliseront ces équations un peu plus simples.

III QUELQUES IDEES SUR LE GUIDAGE :

Indiquons que, pour une capsule spatiale classique de forme conique, qui n'est pas une navette, la capacité à créer une portance est limitée, ou ce qui est équivalent la finesse ( quotient de la portance par la traînée ou encore Cz/Cx) maximum est faible. Nous dirons que les capsules ont du mal à planer.

Il est clair que des erreurs inévitables se produisent sur les conditions de rentrée, longitude, latitude, ...., angle, vitesse, que la modélisation de l'atmosphère ne peut être parfaite et qu'une activité solaire subite peut notablement modifier localement la densité atmosphérique, etc...

Ces considérations conduisent donc à la mise en place d'une stratégie, permettant de rejoindre au mieux un point cible, tout en respectant certaines limitations de décélération maximale ou de température du bouclier thermique. C'est la NOTION DE NAVIGATION-GUIDAGE-PLILOTAGE, encore dénommée NGP.

1°) GUIDAGE EN GITE ET ROULIS :

Ce type de guidage a été mis en œuvre lors des premiers retours, depuis des orbites circumterrestres, des premiers vols habités.

Le point de chute est choisi sensiblement à mi-distance des points de chute à finesse nulle ( rentrée balistique) et du point de chute en utilisant tout au long de la rentrée la portance maximale.

a) La rentrée commence avec une attitude donnant la finesse et donc la portance maximum.

POURQUOI? Tout simplement pour ne pas arriver trop tôt et donc trop vite dans les couches atmosphériques denses autour de 40 à 60 km d'altitude. On limite donc la décélération maximale.

Il faut par exemple savoir qu'à finesse nulle, une rentrée balistique à partir d'une orbite circulaire basse, à angle quasiment nul conduit à une décélération maximale de 8.3 g, et pour un angle de 6°, un pic de 16 g

La prise de portance abaisse notablement le niveau maximum de la décélération et permet de rester en dessous de 4.5 g.

b) On attend d'intercepter une trajectoire de descente à finesse nulle, qui conduit au point cible. Pour annuler la portance, le véhicule est mis en roulis de façon à créer une portance de valeur moyenne nulle.

c) Il est clair que cette stratégie a "oublié" le guidage latéral. Donc de temps en temps le roulis est stoppé et le guidage latéral assuré par la prise d'une GITE à 90° ou - 90°, qui respecte donc la finesse verticale nulle( pas de portance dans le plan vertical) et permet par le signe de la gite un déport latéral à gauche ou à droite grâce à la portance horizontale.

Le dessin suivant illustre le propos.

VARIANTE --> LE GUIDAGE MOITIE PORTANT:

Les américains ont aussi utilisé, en quelques occasions, une trajectoire dite à MOITIE PORTANTE. En clair, la capsule adopte, une incidence donnant la portance maximum et une attitude en gite ( m = 60°, donc cosm = 0.5 =) qui permet d'avoir une finesse moitié de la finesse max.

Il reste donc, en jouant sur la gite m, une capacité de pilotage, par exemple :

Si le point cible trop loin, ne peut être atteinte à portance moitié, il faut faire "planer" un peu plus, donc prendre une plus grande portance, on diminue la gite et le tour est joué.

Voir les équations en V et g où intervient cosm, surtout celle en g.

Réciproquement si la trajectoire moitié portante, risque de dépasser la cible, il faut "plonger" un peu plus vers le sol, on "casse" la pente en diminuant la portance, donc on augmente la gite.

Le prix à payer est un déport latéral à maîtriser, en jouant sur le signe de la gite, ce qui ne change rien à la portance, mais joue sur la composante latérale et donc en particulier sur l'azimut ( rôle de sinm dans l'équation en c ).

2°) GUIDAGE EN FINESSE :

Pour les véhicules de rentrée modernes, comme la Navette US, plus loin la capsule Apollo, l'aérodynamique du véhicule et les capacités de pilotage permettent d'utiliser une finesse précise.

a) On commence à simuler la rentrée du véhicule, avec un modèle élaboré d'atmosphère et un pilotage moyen à incidence fixée. Les calculs informatiques fournissent donc une trajectoire de référence Co, sur laquelle on est capable de tabuler:

La "FINESSE VERTICALE fv", en fonction de la vitesse relative V.

L'altitude Zo(V) en fonction de la vitesse V, autant dire le profil d'altitude fonction de la vitesse.

b) Durant la rentrée réelle, soumise à des perturbations et à des dispersions des paramètres de rentrée, le véhicule garde une incidence fixe, et les moyens inertiels de mesure à bord, permettent de mesurer V la position du véhicule en axes Greenwich et donc d'évaluer l'écart en altitude Z(V) - Zo(V).

c) Le guidage est réalisé par un asservissement de la finesse verticale de type PID sur le profil de référence, de la forme:

00

avec des gains K1, K2, K3 positifs à choisir et à optimiser.

d) Comment alors réaliser physiquement la finesse théorique fv, à incidence constante?

En jouant sur l'angle de gite m qui devient la COMMANDE, ce qui laisse une possibilité de contrôle du déport latéral, par le signe de cet angle.

f la finesse réelle est simplement définie par l'incidence fixe adoptée et le nombre de Mach instantané.

IV DONNEES NUMERIQUES SUR L'ATMOSPHERE TERRESTRE :

Tirées du site : http://www.braeunig.us/space/atmos.htm#si

Physical Properties of Standard Atmosphere in SI Units

Altitude
(meters)

Temperature
(degrees K)

Pressure
(Pa)

Density
(kg/m^3)

Viscosity
(N*sec/m^2)

 

-5000

320.7

1.778E+5

1.931

1.942E-5

-4000

314.2

1.596E+5

1.770

1.912E-5

-3000

307.7

1.430E+5

1.619

1.882E-5

-2000

301.2

1.278E+5

1.478

1.852E-5

-1000

294.7

1.139E+5

1.347

1.821E-5

0

288.2

1.013E+5

1.225

1.789E-5

1000

281.7

8.988E+4

1.112

1.758E-5

2000

275.2

7.950E+4

1.007

1.726E-5

3000

268.7

7.012E+4

9.093E-1

1.694E-5

4000

262.2

6.166E+4

8.194E-1

1.661E-5

5000

255.7

5.405E+4

7.364E-1

1.628E-5

6000

249.2

4.722E+4

6.601E-1

1.595E-5

7000

242.7

4.111E+4

5.900E-1

1.561E-5

8000

236.2

3.565E+4

5.258E-1

1.527E-5

9000

229.7

3.080E+4

4.671E-1

1.493E-5

10000

223.3

2.650E+4

4.135E-1

1.458E-5

15000

216.7

1.211E+4

1.948E-1

1.422E-5

20000

216.7

5.529E+3

8.891E-2

1.422E-5

30000

226.5

1.197E+3

1.841E-2

1.475E-5

40000

250.4

2.871E+2

3.996E-3

1.601E-5

50000

270.7

7.978E+1

1.027E-3

1.704E-5

60000

255.8

2.246E+1

3.059E-4

1.629E-5

70000

219.7

5.520

8.754E-5

1.438E-5

80000

180.7

1.037

1.999E-5

1.216E-5

90000

180.7

1.644E-1

3.170E-6

1.216E-5

 

Guiziou Robert janvier 2002- complété novembre 2004, corrigé décembre 2005, sept 2011